Γρίφοι Πιθανοτήτων

Περισσότερες Κορώνες (***)

Ο Βασίλης έχει 30 νομίσματα και ο Γιώργος 31. Τα στρίβουν ταυτόχρονα. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρει ο Γιώργος περισσότερες Κορώνες από τον Βασίλη;

Λύση

Έχετε μπροστά σας δύο φακέλους που περιέχουν από ένα χρηματικό ποσό ο καθένας. Δεν γνωρίζετε τίποτα γι αυτά τα δύο ποσά παρά μόνο ότι είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ας τα ονομάσουμε X και Υ. Ανοίγετε στην τύχη τον έναν από τους δύο φακέλους και ας πούμε πως περιέχει το ποσό Χ. Με δεδομένο πως τα δύο ποσά μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλα, μπορούμε να εκτιμήσουμε με πιθανότητα μεγαλύτερη του 50% αν το ποσό που ανοίξαμε είναι το μεγάλο ή το μικρό και αν ναι πώς;

Λύση

Έχουμε μια μπλε και μια κόκκινη τράπουλα. Από την κάθε μία χρησιμοποιούμε μόνο τους τέσσερις άσσους και τους τέσσερις ρήγες. Ανακατεύουμε τα 8 φύλλα της μπλε τράπουλας και μοιράζουμε δύο από αυτά, κλειστά, στον παίκτη Α. Ανακατεύουμε και τα 8 φύλλα της κόκκινης τράπουλας και μοιράζουμε δύο από αυτά, κλειστά, στον παίκτη Β.
Ρωτάμε τον παίκτη Α αν έχει άσσο στα δύο φύλλα του και μας απαντάει "ναι".
Ρωτάμε τον παίκτη Β αν έχει τον άσσο σπαθί στα δύο φύλλα του και μας απαντάει επίσης "ναι".
Ποιος από τους δύο παίκτες είναι πιθανότερο να κρατάει στο χέρι του δύο άσσους;
Δώστε πρώτα τη διαισθητική σας απάντηση και στη συνέχεια αν μπορείτε υπολογίστε την πιθανότητα του καθενός.

Λύση

Ένας πλούσιος χαρτοπαίκτης σας προτείνει να παίξετε το παρακάτω παιχνίδι:
Κρατάει στα χέρια του ένα σακούλι το οποίο περιέχει τρεις κάρτες. Η μία είναι κόκκινη και από τις δύο πλευρές, η άλλη είναι πράσινη και από τις δύο πλευρές και η τρίτη έχει τη μία πλευρά της κόκκινη και την άλλη πράσινη. Xωρίς να βλέπετε, τραβάτε μία κάρτα από το σακούλι και την ακουμπάτε πάνω στο τραπέζι. Σηκώνετε το χέρι σας και αποκαλύπτεται ότι η πλευρά της που φαίνεται είναι κόκκινη.
Τότε ο χαρτοπαίκτης σας λέει πως μπορείτε να ποντάρετε οποιοδήποτε ποσό θέλετε και αν η άλλη πλευρά της κάρτας είναι πράσινη, θα διπλασιάσετε το ποσό αυτό και αν είναι κόκκινη θα το χάσετε. Δέχεστε το στοίχημα ή όχι και γιατί;

Λύση

Στην πόλη του κύριου Γιάννη κυκλοφορεί ένας επικίνδυνος ιός. Ευτυχώς το ποσοστό των ανθρώπων που προσβάλλεται από αυτόν είναι μόλις 0,1%. Ο ιός ανιχνεύεται μόνο μέσω ενός ειδικού τεστ που οι γιατροί συνιστούν να κάνουν προληπτικά όλοι οι πολίτες.
Πηγαίνει λοιπόν και ο κ. Γιάννης να κάνει το τεστ και προς μεγάλη του έκπληξη ο γιατρός του λέει πως βγήκε θετικό. Ο κ. Γιάννης ρωτάει πόσο ακριβές είναι το τεστ που του έκαναν και ο γιατρός του απαντάει πως είναι πολύ ακριβές και δίνει τη σωστή διάγνωση στο 95% των περιπτώσεων. Μόνο σε ένα 5% δίνει το αντίθετο αποτέλεσμα από το σωστό. Ο κ. Γιάννης έχει ανησυχήσει, αλλά δεν μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα να έχει προσβληθεί πράγματι από τον ιό. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Λύση

Συμμετέχετε σε ένα διαγώνισμα 10 ερωτήσεων. Για κάθε σωστή απάντηση που δίνετε παίρνετε 1 βαθμό, για κάθε λάθος απάντηση σας αφαιρείται 1 βαθμός και αν δεν απαντήσετε κάποια ερώτηση δεν βαθμολογήστε γι αυτήν.
Σας ενδιαφέρει μόνο να πιάσετε τη βάση που είναι το 5. Υψηλότερη βαθμολογία δεν έχει καμία σημασία για σας.
Γνωρίζετε εξίσου καλά και τις 10 ερωτήσεις του διαγωνίσματος, πράγμα που σημαίνει ότι το να δώσετε τη σωστή απάντηση σε κάποια ερώτηση είναι πιθανότερο από το να δώσετε μια λανθασμένη, αλλά αυτό το τελευταίο ενδεχόμενο δεν αποκλείεται.
Σε πόσες ερωτήσεις του διαγωνίσματος θα πρέπει να απαντήσετε για να μεγιστοποιήσετε την πιθανότητά σας να πιάσετε τουλάχιστον τη βάση;

Λύση

Βρίσκεστε στην 100η θέση μιας ουράς για επιβίβαση σε ένα αεροπλάνο 100 θέσεων.
Ο πρώτος επιβάτης ανεβαίνει στο αεροπλάνο, αλλά δυστυχώς έχει χάσει το απόκομμα του εισιτηρίου του που δείχνει σε ποια θέση πρέπει να κάτσει κι έτσι κάθεται σε μια θέση στην τύχη.
Ο επόμενος επιβάτης κάθεται κανονικά στη θέση που λέει το εισητήριό του, εκτός κι αν είναι κατειλημμένη, οπότε κάθεται κι αυτός σε μια θέση στην τύχη. Αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να έρθει η δική σας σειρά να επιβιβαστείτε.
Τι πιθανότητα έχετε να κάτσετε στη θέση που αναγράφεται στο εισιτήριό σας;

Λύση

Σε μια φυλακή βρίσκονται τρεις κρατούμενοι, οι Α, Β και Γ. Μια μέρα ο δεσμοφύλακας τους ανακοινώνει πως αποφασίσθηκε να ελευθερωθούν οι δύο από αυτούς. Το ποιοι θα είναι έχει επίσης αποφασισθεί αλλά όπως τους είπε δεν μπορεί να το ανακοινώσει μέχρι αύριο.
Μετά από λίγα λεπτά, ο Α που είχε κάπως πιο φιλικές σχέσεις με τον δεσμοφύλακα τον πιάνει και τον ρωτάει αν θα είναι αυτός ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν. Δεν μπορώ να σου το πω αυτό, του απαντάει ο δεσμοφύλακας. Τουλάχιστον πες μου τον έναν από τους άλλους δύο που θα ελευθερωθεί, λέει ο Α και σου υπόσχομαι να μην τους πω τίποτα. Εντάξει, λέει ο φύλακας. Ο Β θα είναι ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν.
Τι πιθανότητα υπάρχει εκείνη τη στιγμή να ελευθερωθεί ο Α;

Λύση

Τέσσερις φίλοι παίζουν σε ζευγάρια ένα παιχνίδι με χαρτιά στο οποίο μοιράζονται όλα τα φύλλα της τράπουλας (χωρίς τους μπαλαντέρ, δηλαδή 13 φύλλα ανά παίκτη).
Τι είναι πιο πιθανό για το πρώτο ζευγάρι: Να πάρει όλα τα καρό της τράπουλας ή να μην πάρει κανένα;

Λύση

Σε κάποιο τηλεπαιχνίδι ο παρουσιαστής σε βάζει μπροστά σε τέσσερα κλειστά κουτιά που περιέχουν μία δεσμίδα χαρτονομίσματα το καθένα. Είναι γνωστό πως δεν υπάρχουν δύο κουτιά με το ίδιο ποσό, αλλά δεν γνωρίζεις το ποσό κανενός κουτιού. Σκοπός του παιχνιδιού είναι να βρεις το κουτί με το μεγαλύτερο ποσό, το οποίο και θα πάρεις, αλλιώς δεν παίρνεις τίποτα. Μπορείς ν' ανοίξεις όσα κουτιά θέλεις, αλλά πρέπει να επιλέξεις το ποσό του κουτιού που άνοιξες τελευταίο, ακόμα και αν είναι μικρότερο από κάποιο άλλο. Υπάρχει τρόπος ν' αυξήσεις την πιθανότητά σου να βρεις το μεγαλύτερο ποσό;

Λύση

Τρεις λόρδοι αποφασίζουν να λύσουν τις διαφορές τους σε μια τριπλή μονομαχία με πιστόλια. Σχηματίζουν ένα μεγάλο τρίγωνο και ξεκινούν ως εξής: Πρώτος πυροβολεί ο Α, δεύτερος ο Β και τρίτος ο Γ. Ο κύκλος αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι να μείνει μόνο ένας ζωντανός. Ο Α βρίσκει τον στόχο με πιθανότητα 1/3, ο Β δεν αστοχεί ποτέ και ο Γ βρίσκει στόχο με πιθανότητα 1/2 (ή 50%). Ποια είναι η καλύτερη στρατηγική για τον Α, για να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει και ποια είναι η πιθανότητα αυτή;

Λύση

Έχουμε δύο ίδιες στάμνες. Η μία περιέχει 50 λευκούς βόλους και η άλλη 50 μαύρους. Κάποιος μας λέει πως θα τραβήξει έναν βόλο στα τυφλά από μία τυχαία στάμνα και εάν είναι λευκός θα μας ανταμείψει με ένα δώρο, ενώ εάν είναι μαύρος έχουμε χάσει. Έχουμε δικαίωμα από πριν να μετακινήσουμε όσους βόλους θέλουμε από τη μία στάμνα στην άλλη, αφήνοντας όμως μέσα στις δύο στάμνες και τους 100 βόλους. Πώς θα κατανείμουμε τους βόλους ώστε να μεγιστοποιήσουμε την πιθανότητα να τραβήξει έναν λευκό;

Λύση

Ένας βασιλιάς λίγο πριν πεθάνει εκμυστηρεύτηκε στη σύζυγό του πως τα δύο πράγματα που τον έκαναν πιο υπερήφανο στη ζωή του είναι τα δύο παιδιά που έκανε μαζί της και πως το ένα από αυτά θα τον διαδεχτεί στο θρόνο.
Με δεδομένο ότι μόνο ένα αγόρι μπορεί να διαδεχτεί στο θρόνο τον πατέρα του, ποια είναι η πιθανότητα τα παιδιά του βασιλιά να είναι δύο αγόρια;

Λύση

Το παρακάτω πρόβλημα βασίζεται στο τηλεπαιχνίδι με τις τρεις πόρτες και τον Ζονγκ. Σε βάζει ο παρουσιαστής του παιχνιδιού να διαλέξεις ανάμεσα σε τρεις πόρτες εκ των οποίων η μία περιέχει κάποιο δώρο και οι άλλες δύο Ζονγκ, δηλαδή αν επιλέξεις αυτές δεν κερδίζεις τίποτα. Εσύ διαλέγεις μία πόρτα και ο παρουσιαστής (που γνωρίζει που είναι το δώρο) ανοίγει μία άλλη, αποκαλύπτοντας ένα Ζονγκ. Σου δίνει το δικαίωμα να αναθεωρήσεις την αρχική σου επιλογή και να αλλάξεις πόρτα.
Τι αποφασίζεις; Θα κρατήσεις την πόρτα που είχες διαλέξει αρχικά, θα επιλέξεις την άλλη, ή δεν έχει καμία σημασία;

Λύση

Βρίσκεσαι σ' ένα παιχνίδι ρώσικης ρουλέτας. Το πιστόλι είναι εξάσφαιρο, αλλά αντί για μία έχει μέσα τρεις σφαίρες, τοποθετημένες στη σειρά (η μία μετά την άλλη). Ο μύλος γυρίζει μόνο μία φορά και σταματάει σε μία τυχαία θέση. Οι δύο παίχτες πυροβολούν στο κεφάλι τους εναλλάξ, μέχρι ο ένας από τους δύο να σκοτωθεί. Ο αντίπαλός σου, σου δίνει το δικαίωμα να διαλέξεις αν θα είσαι ο πρώτος ή ο δεύτερος που θα δοκιμάσει. Τι διαλέγεις;

Λύση