Πίσω
Πρώτα θα υπολογίσουμε την πιθανότητα να γίνει θετική διάγνωση με το τεστ σε έναν τυχαίο άνθρωπο. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει είτε να έχει τον ιό και η διάγνωση να είναι σωστή είτε να μην έχει τον ιό και η διάγνωση να είναι λάθος. Η πιθανότητα να συμβαίνει η πρώτη περίπτωση είναι 0,1/100 * 95/100 = 0,095/100. Η πιθανότητα να συμβαίνει η δεύτερη περίπτωση είναι 99,9/100 * 5/100 = 4,995/100.
Αθροίζοντας τις πιθανότητες των δύο ενδεχομένων βρίσκουμε τη συνολική πιθανότητα να βγει το τεστ θετικό: 0,095/100 + 4,995/100 = 5,09/100.
Με άλλα λόγια, στους 100 ανθρώπους που θα κάνουν το τεστ οι 5,09 αναμένεται να πάρουν θετική διάγνωση. Από αυτούς όμως μόνο οι 0,095 όπως είπαμε έχουν πράγματι προσβληθεί από τον ιό. Με απλή μέθοδο των τριών βρίσκουμε πως στους 100 ανθρώπους, αυτοί που έχουν θετική διάγνωση και έχουν προσβληθεί από τον ιό είναι: 0,095 * 100 / 5,09 = 1,8664. Άρα η πιθανότητα να έχει ο κ. Γιάννης τον ιό είναι περίπου 1,87%.
Βλέπουμε πως ο κ. Γιάννης μάλλον δεν θα έπρεπε να ανησυχήσει γιατί παρόλο που το τεστ έχει μεγάλη ακρίβεια, η πιθανότητα να έχει πράγματι προσβληθεί είναι μικρή, αλλά πάντως γύρω στις 20 φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα που είχε να φέρει τον ιό πριν του βγει το τεστ θετικό.
Μια εξήγηση στην καθομιλουμένη για το πώς είναι τόσο μικρή η πιθανότητα να έχει προσβληθεί ο κ. Γιάννης από τον ιό, παρά τη θετική διάγνωση, είναι η εξής: Η πιθανότητα να έχει κολλήσει κάποιος τον ιό είναι πολύ μικρότερη από την πιθανότητα να έχει βγει λάθος το τεστ. Γι αυτό, το ότι το τεστ βγήκε θετικό είναι πολύ πιθανότερο να οφείλεται σε λανθασμένο αποτέλεσμα του τεστ, παρά στο ότι έχει πράγματι ο κ. Γιάννης τον ιό.
Μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και με την εφαρμογή του Θεωρήματος του Bayes:
Ορίζουμε τα εξής ενδεχόμενα:
Α = Ακριβές τεστ
Θ = Θετικό τεστ
Π = Προσβολή από τον ιό
Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι P(Α)=0,95 και P(Π)=0,001 , όπου με P(x) συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβαίνει το ενδεχόμενο x.
Με P(Θ|Π) συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβαίνει το ενδεχόμενο Θ με δεδομένο ότι συμβαίνει το ενδεχόμενο Π. Παρατηρούμε πως P(Θ|Π) = P(Α) γιατί η πιθανότητα κάποιος που έχει προσβληθεί από τον ιό να πάρει θετική διάγνωση από το τεστ είναι επίσης 0,95.
Όπως είπαμε πιο πάνω, το τεστ δίνει θετική διάγνωση είτε αν κάποιος έχει προσβληθεί από τον ιό και το τεστ ήταν ακριβές είτε αν δεν έχει προσβληθεί από τον ιό και το τεστ δεν ήταν ακριβές. Θα το εκφράσουμε αυτό μαθηματικά ως:
P(Θ) = P(Π)*P(A) + !P(Π)*!P(A) = P(Π)*P(Θ|Π) + !P(Π)*!P(Θ|Π)
όπου με !P(x) συμβολίζουμε την πιθανότητα να μην συμβαίνει το ενδεχόμενο x.
Το ζητούμενο είναι να βρούμε την πιθανότητα να έχει προσβληθεί ο κ. Γιάννης από τον ιό με δεδομένο ότι του βγήκε το τεστ θετικό. Πρέπει δηλαδή να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(Π|Θ). Αφού γνωρίζουμε ήδη την πιθανότητα P(Θ|Π) θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα του Bayes που συνδέει αυτές τις δύο πιθανότητες μεταξύ τους με τη σχέση:
P(Π|Θ) = P(Θ|Π) * P(Π) / P(Θ)
Με αντικατάσταση τιμών προκύπτει πως:
P(Π|Θ) = 0,95 * 0,001 / [0,001*0,95 + (1–0,001)*(1–0,95)] = 0,01866.
We do not see things as they are. We see things as we are.
--Anais Nin