Κάνουμε έναν πίνακα με όλους τους δυνατούς συνδυασμούς δύο παιδιών που μπορεί να έχει οποιοσδήποτε γονέας:
| 1ο ΠΑΙΔΙ | 2ο ΠΑΙΔΙ |
Αφού το ένα παιδί θα τον διαδεχτεί στον θρόνο και άρα είναι αγόρι, αποκλείουμε την τελευταία περίπτωση να έχει δύο κορίτσια.
Από τις υπόλοιπες τρεις δυνατές περιπτώσεις μόνο η πρώτη ικανοποιεί το
ζητούμενο, συνεπώς η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια είναι 1/3.
Σε αυτό και άλλα παρόμοια προβλήματα πιθανοτήτων είναι πολύ σημαντικός ο τρόπος που διατυπώνονται. Διαφορετικές διατυπώσεις οδηγούν σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Επίσης αν η διατύπωση δεν αποσαφηνίζει κάτω από ποιες συνθήκες δόθηκαν τα δεδομένα του προβλήματος τότε μπορεί δύο λύτες να κάνουν διαφορετικές αρχικές υποθέσεις και να οδηγηθούν σε διαφορετικά αποτελέσματα, χωρίς να μπορεί να αποδειχτεί ποιος έχει δίκιο και ποιος άδικο.
Ας πάρουμε για παράδειγμα έναν πατέρα που ξέρουμε μόνο πως έχει δύο
παιδιά και ας δούμε την πιθανότητα να έχει δύο αγόρια αν το πρόβλημα
οριζόταν με καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα:
Α1 = Απάντηση "τουλάχιστον το ένα παιδί μου είναι αγόρι και θα με
διαδεχτεί στο θρόνο" στην ερώτηση "τι φύλα έχουν τα παιδιά σου"
Α2 = Απάντηση "ναι" στην ερώτηση "είναι τουλάχιστον το ένα παιδί σου αγόρι"
Α3 = Απάντηση "το ένα τουλάχιστον παιδί μου είναι αγόρι" στην ερώτηση "τι φύλα έχουν τα παιδιά σου"
Α4 = Απάντηση "αγόρι" στην ερώτηση "πες μου το φύλο του ενός από τα δύο παιδιά σου"
Με μια πρόχειρη ματιά φαίνεται πως πρόκειται για 4 διαφορετικούς τρόπους
να πούμε το ίδιο πράγμα και άρα θα βρίσκαμε σε όλους την ίδια
πιθανότητα. Όμως:
Τα ενδεχόμενα Α1 και Α2 είναι μεταξύ τους ισοδύναμα με τις αντίστοιχες πιθανότητές τους να ισούνται με 1/3.
Τα ενδεχόμενα Α3 και Α4 είναι επίσης μεταξύ τους ισοδύναμα με τις
αντίστοιχες πιθανότητές τους να ισούνται με 1/2 (με την προϋπόθεση που
αναφέρεται πιο κάτω).
Τα ενδεχόμενα Α1 και Α2 δεν είναι ισοδύναμα με τα Α3 και Α4.
Ακολουθεί μια μαθηματική ανάλυση για την εύρεση των παραπάνω πιθανοτήτων.
Ξεκινώ με την παραλλαγή Α2 πιο πάνω, δηλαδή: Ρωτάει κάποιος έναν πατέρα δύο παιδιών αν τουλάχιστον ένα παιδί του είναι αγόρι και παίρνει την απάντηση «Ναι». Ποια είναι η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;
Πρώτα οι ορισμοί. Δίνω τους παρακάτω συμβολισμούς στα εξής Ενδεχόμενα:
Α2 = Απάντηση «Ναι» στην ερώτηση «είναι τουλάχιστον το ένα παιδί σου αγόρι»
ΑΑ = Έχει δύο αγόρια
ΑΚ = Το πρώτο του παιδί είναι αγόρι και το δεύτερο κορίτσι
ΚΑ = Το πρώτο του παιδί είναι κορίτσι και το δεύτερο αγόρι
ΚΚ = Έχει δύο κορίτσια
Με Ρ(Ενδεχόμενο) συμβολίζω την πιθανότητα να συμβεί το αναφερόμενο Ενδεχόμενο. Θεωρούμε πως η πιθανότητα να προκύψει ο κάθε συνδυασμός δύο παιδιών είναι η ίδια, δηλαδή Ρ(ΑΑ) = Ρ(ΑΚ) = Ρ(ΚΑ) = Ρ(ΚΚ) = 1/4.
Μετασχηματίζω το ερώτημα στο εξής ισοδύναμό του:
Με δεδομένο ότι ισχύει το Α2 ποια είναι η πιθανότητα του ΑΑ ;
Παίρνω τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας:
Ρ(ΑΑ|Α2) = Ρ(ΑΑ ∩ Α2) / Ρ(Α2)
Υπολογίζω το πιο πάνω κλάσμα.
Ο συμβολισμός ΑΑ ∩ Α2 σημαίνει πως παίρνουμε την τομή των ενδεχομένων ΑΑ
και Α2. Παρατηρούμε πως όταν ισχύει το ενδεχόμενο ΑΑ τότε ισχύει πάντα
και το ενδεχόμενο Α2. Δηλαδή το ενδεχόμενο ΑΑ είναι υποσύνολο του Α2.
Άρα ΑΑ ∩ Α2 = ΑΑ και συνεπώς για τον αριθμητή του πιο πάνω κλάσματος ισχύει ότι Ρ(ΑΑ ∩ Α2) = Ρ(ΑΑ) = 1/4
Για τον παρονομαστή Ρ(Α2) διακρίνω περιπτώσεις:
1) Αν ΑΑ τότε Ρ(Α2) = 1
2) Αν ΑΚ τότε Ρ(Α2) = 1
3) Αν ΚΑ τότε Ρ(Α2) = 1
4) Αν ΚΚ τότε Ρ(Α2) = 0
Άρα συνολικά: Ρ(Α2) = (1/4) * 1 + (1/4) * 1 + (1/4) * 1 + (1/4) * 0 = 3/4.
Οπότε τελικά: Ρ(ΑΑ|Α2) = (1/4) / (3/4) = 1/3
Η διατύπωση της παραλλαγής Α1 έχει γίνει με αυτόν τον τρόπο για να είναι σαφές πως η δήλωση του πατέρα (βασιλιά) θα μπορούσε να αφορά μόνο αγόρι. Οπότε ακολουθώντας τον ίδιο υπολογισμό καταλήγουμε πάλι σε πιθανότητα ίση με 1/3.
Ας δούμε τώρα τις διαφορές της παραλλαγής Α2 που ανέλυσα με την παραλλαγή Α4, δηλαδή: Ρωτάει κάποιος έναν πατέρα δύο παιδιών να του πει το φύλο ενός από τα δύο παιδιά του και παίρνει την απάντηση «Αγόρι». Ποια είναι η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια;
Αντί του ενδεχόμενου Α2 χρησιμοποιούμε τώρα το ενδεχόμενο Α4 που είναι: Απάντηση «Αγόρι» στην ερώτηση «πες μου το φύλο του ενός από τα δύο παιδιά σου».
Ο αριθμητής του κλάσματος της δεσμευμένης πιθανότητας δεν αλλάζει και είναι πάλι: Ρ(ΑΑ ∩ Α4) = Ρ(ΑΑ) = 1/4
Ο παρανομαστής του κλάσματος Ρ(Α4) αλλάζει ως εξής:
1) Αν ΑΑ τότε Ρ(Α4) = 1
2) Αν ΑΚ τότε Ρ(Α4) = 1/2
3) Αν ΚΑ τότε Ρ(Α4) = 1/2
4) Αν ΚΚ τότε Ρ(Α4) = 0
Η προϋπόθεση για να ισχύει αυτή η αλλαγή είναι να γνωρίζουμε πως στις περιπτώσεις 2 και 3 ο πατέρας δεν δεσμεύεται όπως πριν να κάνει μια δήλωση για το (ενδεχόμενο) αγόρι του, αλλά μπορεί να απαντήσει με την ίδια πιθανότητα «Κορίτσι» στην ερώτηση για το φύλο του ενός παιδιού του. Αν δηλαδή θεωρήσουμε πως δεν έχει κάποιο λόγο να προτιμήσει να αναφέρει το ένα φύλο έναντι του άλλου, πρέπει να αποδώσουμε ίση πιθανότητα στα δύο αυτά ενδεχόμενα, δίνοντας στο Ρ(Α4) στις περιπτώσεις 2 και 3 την τιμή 1/2.
Άρα συνολικά: Ρ(Α4) = (1/4) * 1 + (1/4) * (1/2) + (1/4) * (1/2) + (1/4) * 0 = 1/2
Οπότε τελικά: Ρ(ΑΑ|Α4) = (1/4) / (1/2) = 1/2
Στον τελευταίο υπολογισμό θα καταλήγαμε και με την παραλλαγή Α3 και την ίδια προϋπόθεση.
Ας δούμε και μια περίπτωση όπου εκτός από το φύλο του ενός παιδιού δίνεται και μια πρόσθετη πληροφορία. Ρωτάμε κάποιον, έχεις γιο που έχει γεννηθεί Τρίτη; Ναι, μας απαντάει. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει δύο γιους;
Δίνουμε τους παρακάτω συμβολισμούς στα εξής Ενδεχόμενα:
απ = Απάντηση «Ναι» στην ερώτηση έχεις γιο που έχει γεννηθεί Τρίτη;
ΑΑ = Έχει δύο αγόρια
ΑΚ = Το πρώτο του παιδί είναι αγόρι και το δεύτερο κορίτσι
ΚΑ = Το πρώτο του παιδί είναι κορίτσι και το δεύτερο αγόρι
ΚΚ = Έχει δύο κορίτσια
Με Ρ(Ενδεχόμενο) συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβεί το αναφερόμενο Ενδεχόμενο. Θεωρούμε πως η πιθανότητα να προκύψει ο κάθε συνδυασμός δύο παιδιών είναι η ίδια, δηλαδή Ρ(ΑΑ) = Ρ(ΑΚ) = Ρ(ΚΑ) = Ρ(ΚΚ) = 1/4 και πως η πιθανότητα να γεννηθεί ένα παιδί μια συγκεκριμένη ημέρα είναι 1/7.
Το ερώτημα τώρα μπορεί να τεθεί ως εξής:
Με δεδομένο ότι ισχύει το απ, ποια είναι η πιθανότητα του ΑΑ ;
Παίρνουμε τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας:
Ρ(ΑΑ|απ) = Ρ(ΑΑ ∩ απ) / Ρ(απ)
Για να ισχύουν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα ΑΑ και απ θα πρέπει ο πατέρας να έχει δύο γιους και τουλάχιστον ένας από αυτούς να έχει γεννηθεί Τρίτη. Η πιθανότητα της τομής αυτών των δύο ενδεχομένων είναι:
Ρ(ΑΑ ∩ απ) = (1/4)*[1-(6/7)*(6/7)] = (1/4)*(13/49)
Για τον παρανομαστή Ρ(απ) διακρίνουμε περιπτώσεις:
1) Αν ΑΑ τότε Ρ(απ) = 1-(6/7)*(6/7) = 13/49
(δηλαδή στην περίπτωση που ισχύει το ενδεχόμενο ΑΑ, η απάντηση απ δίνεται αν τουλάχιστον ένας γιος του έχει γεννηθεί Τρίτη)
2) Αν ΑΚ τότε Ρ(απ) = 1/7
(δηλαδή στην περίπτωση που έχει έναν μόνο γιο, η απάντηση απ δίνεται αν αυτός έχει γεννηθεί Τρίτη)
3) Αν ΚΑ τότε Ρ(απ) = 1/7
(ομοίως με το 2)
4) Αν ΚΚ τότε Ρ(απ) = 0
(δηλαδή αν έχει δύο κόρες, η απάντηση απ δεν δίνεται σε καμία περίπτωση)
Άρα συνολικά: Ρ(απ) = (1/4)*(13/49) + (1/4)*(1/7) + (1/4)*(1/7) + (1/4)*0 = (1/4)*(27/49)
Οπότε τελικά: Ρ(ΑΑ|απ) = [(1/4)*(13/49)] / [(1/4)*(27/49)] = 13/27
Τέλος, θα αναφέρουμε άλλη μία παραλλαγή του προβλήματος. Έστω πως βλέπουμε
στο δρόμο έναν πατέρα μαζί με το γιο του και μας λέει πως έχει δύο
παιδιά. Τι πιθανότητα υπάρχει να είναι και τα δύο αγόρια;
Η αρχική μας σκέψη είναι πως αφού απομονώσουμε το παιδί που έχουμε
μπροστά μας τότε το ερώτημα τίθεται μόνο για το φύλο του άλλου. Το άλλο
παιδί είναι αγόρι με πιθανότητα 1/2, άρα αυτή είναι και η πιθανότητα να
έχει δύο αγόρια.
Για να είναι όμως σωστή αυτή η απάντηση, θα πρέπει να έχουμε εξασφαλίσει
έναν ακόμα κρυφό παράγοντα: Πως σε περίπτωση που ο πατέρας έχει ένα
αγόρι και ένα κορίτσι τότε υπάρχει ίση πιθανότητα να τον δούμε μαζί με
το αγόρι ή μαζί με το κορίτσι του.
Αν αυτό δεν συμβαίνει (αν π.χ. πηγαίνει συνήθως με το γιο του στο γήπεδο
ή αν είναι η ώρα που σχολάει η κόρη του από το σχολείο) τότε δεν
μπορούμε να υπολογίσουμε τη σωστή πιθανότητα γιατί δεν ξέρουμε τη
σχετική πιθανότητα που υπήρχε να τον δούμε παρέα με το γιο του ή με την
κόρη του. Στην ακραία περίπτωση όπου ένας πατέρας έχει ένα αγόρι και ένα
κορίτσι και βγαίνει βόλτα μόνο με τον γιο του και ποτέ με την κόρη του
τότε ακολουθούμε το Ενδεχόμενο Α2 που ανέλυσα πιο πάνω και καταλήγουμε
πως η πιθανότητα να είναι και τα δύο παιδιά του αγόρια είναι 1/3.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας του Bayes, γενίκευσα το πρόβλημα των δύο παιδιών ως εξής: Έστω p η πιθανότητα να βγει ο μπαμπάς έξω μαζί με ένα αγόρι, όταν ο μπαμπάς έχει δύο παιδιά του αντίθετου φύλου, χωρίς όμως εμείς να το γνωρίζουμε αυτό. Τότε αν πράγματι δούμε τον μπαμπά μαζί με ένα αγόρι, η πιθανότητα να έχει δύο αγόρια είναι f(p) = 1/(2p+1).
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι η καμπύλη που φαίνεται πιο κάτω. Στον οριζόντιο άξονα το p παίρνει τιμές από 0 έως 1 και στον κάθετο άξονα η f(p) παίρνει τιμές από 1/3 έως 1.
"Discovery consists of seeing what everyone else has seen but think what no one else has thought."
--Albert Szent-Gyorgyi
Πίσω