ΠίσωΑν απαντήσατε 1/2 (ή 50%) δυστυχώς κάνετε λάθος. Η πιθανότητα να ελευθερωθεί ο Α είναι 2/3.
Εξήγηση:
Αρχικά οι τρεις κρατούμενοι έχουν πιθανότητα 2/3 ο καθένας για να ελευθερωθούν.
Με την ανακοίνωση του φύλακα ότι θα ελευθερωθεί ο Β, ο Α δεν παίρνει ΚΑΜΙΑ πληροφορία για τη δική του τύχη, γιατί ξέρει εκ των προτέρων ότι δεν επιτρέπεται να ανακοινωθεί η απόφαση που έχει παρθεί για τον ίδιο. Έτσι η πιθανότητα γι αυτόν παραμένει 2/3.
Αντίθετα, ο Γ που δεν εξαιρέθηκε από τη δυνατότητα ανακοίνωσης του ονόματός του, έχει τώρα μικρότερη πιθανότητα να είναι αυτός ο δεύτερος που θα ελευθερωθεί. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα απελευθέρωσης του Γ σημειώνουμε τους τρεις αρχικούς δυνατούς συνδυασμούς απελευθερώσεων: Α-Β, Α-Γ, Β-Γ. Με δεδομένο ότι ο Β θα είναι ένας από τους δύο που θα ελευθερωθούν, η μόνη δυνατότητα για να είναι ο Γ ο δεύτερος, είναι να ισχύει ο συνδυασμός απελευθέρωσης Β-Γ. Άρα σε μόνο έναν από τους τρεις συνδυασμούς απελευθερώνεται ο Γ και συνεπώς η πιθανότητα απελευθέρωσής του είναι 1/3.
Ο Α και ο Γ θα είχαν πιθανότητα 1/2 να ελευθερωθούν στην περίπτωση που ο Α θα ρώταγε για το ποια θα είναι η τύχη του Β και έπαιρνε την απάντηση πως ο Β θα ελευθερωθεί. Στο πρόβλημα όμως ανακοινώνεται ποιος ελευθερώνεται και όχι τι κάνει ο Β. Αυτή η λεπτή διαφορά αλλάζει το αποτέλεσμα.
Αν ακόμα δεν πειστήκατε ότι η πιθανότητα του Α δεν είναι 50%, πάρτε ένα πιο εμφανές παράδειγμα, στο οποίο υπάρχουν 1000 κρατούμενοι και πρόκειται να ελευθερωθούν διαδοχικά οι 999. Εσείς είστε ένας από αυτούς (ας πούμε το Νο 1), αλλά διαφέρετε από όλους τους υπόλοιπους στο γεγονός ότι ξέρετε πως δεν θα ανακοινωθεί το όνομά σας μέχρι το τέλος της διαδικασίας απελευθέρωσης. Η πιθανότητα που έχετε να ελευθερωθείτε σ' αυτό το σημείο είναι 999/1000, δηλαδή είναι σχεδόν βέβαιο.
Ο φύλακας λοιπόν, αρχίζει να ανακοινώνει τα νούμερα αυτών που ελευθερώνονται και ένας-ένας βγαίνουν από την πύλη. Ένα νούμερο πριν το τέλος μένετε αναπόφευκτα εσείς και π.χ. το Νο 783.
Ποια θα είναι τώρα η πιθανότητα να είστε εσείς ο τελευταίος που θα απελευθερωθεί; Μήπως 50% ; Από εκεί δηλαδή που ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα απελευθερωθείτε, αναπόφευκτα φτάσατε να ρισκάρετε με κάποιον άλλον στο 50-50 ;
Όχι βέβαια! Το ενδεχόμενο της απελευθέρωσής σας δεν είναι ισοπίθανο με το ενδεχόμενο απελευθέρωσης του Νο 783. Για την ακρίβεια η δική σας πιθανότητα παραμένει στο ενθαρρυντικό 999/1000, ενώ του Νο 783 είναι μόλις 1/1000.
Γενικεύοντας, για k αρχικούς κρατούμενους και n κρατούμενους που παραμένουν στη φυλακή αφού αρχίσει η διαδικασία απελευθέρωσης, η δική σας πιθανότητα απελευθέρωσης είναι: (k-1)/k , ενώ για όλους τους υπόλοιπους που δεν έχουν απελευθερωθεί ακόμα, η πιθανότητα απελευθέρωσής τους είναι: 1/k + [(k-1)/k] * [(n-2)/(n-1)]. Βλέπουμε δηλαδή ότι όσο περισσότεροι απελευθερώνονται (μείωση του n) η δική σας πιθανότητα μένει σταθερή, ενώ όλων των υπολοίπων που παραμένουν, μειώνεται.
Reality is that which refuses to go away when I stop believing in it.
--Phillip K. Dick