Η απάντηση είναι ναι και ο τρόπος εκτίμησης έχει ως εξής: Ορίζουμε στο μυαλό μας ένα οποιοδήποτε ποσό Ζ. Είναι καλύτερα μάλιστα να το έχουμε σκεφτεί πριν ανοίξουμε τον φάκελο για να εξασφαλίσουμε ότι το Ζ θα είναι ανεξάρτητο του Χ. Ανοίγουμε τον φάκελο και μας αποκαλύπτεται το ποσό Χ. Αν το Ζ είναι μεγαλύτερο του Χ, λέμε πως το Χ πρέπει να είναι το μικρό ποσό και αν το Ζ είναι μικρότερο του Χ λέμε πως το Χ πρέπει να είναι το μεγάλο ποσό. Με τον τρόπο αυτό έχουμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% να έχουμε δίκιο στην εκτίμησή μας. Μία εξήγηση του γιατί συμβαίνει αυτό είναι η παρακάτω:
Διακρίνουμε 3 δυνατές περιπτώσεις για το που μπορεί να βρίσκεται το Ζ σε σχέση με τα άλλα δύο ποσά:
1) Αν το Ζ είναι μεγαλύτερο και από τα δύο ποσά Χ και Υ, τότε εάν το Χ είναι μικρότερο του Υ έχουμε εκτιμήσει σωστά, ενώ εάν το Χ είναι μεγαλύτερο του Υ έχουμε εκτιμήσει λάθος. Επειδή το Χ μπορεί να είναι μεγαλύτερο του Υ με πιθανότητα 50%, η πιθανότητα να έχουμε εκτιμήσει σωστά είναι επίσης 50%.
2) Αν το Ζ είναι μικρότερο και από τα δύο ποσά, τότε εάν το Χ είναι μικρότερο του Υ έχουμε εκτιμήσει λάθος, ενώ εάν το Χ είναι μεγαλύτερο του Υ έχουμε εκτιμήσει σωστά. Η πιθανότητα σωστής εκτίμησης είναι και εδώ 50%.
3) Αν το Ζ είναι ανάμεσα στα δύο ποσά, τότε εάν το Χ είναι μικρότερο του Υ έχουμε εκτιμήσει σωστά, ενώ εάν το Χ είναι μεγαλύτερο του Υ έχουμε εκτιμήσει πάλι σωστά. Δηλαδή η πιθανότητα σωστής εκτίμησης σε αυτήν την περίπτωση είναι 100%.
Προκύπτει δηλαδή πως όσο απίθανο κι αν είναι το ποσό Ζ που βάλαμε στο μυαλό μας να βρίσκεται ανάμεσα στα άλλα δύο ποσά, εξ αιτίας αυτού του ενδεχομένου αν ακολουθήσουμε τον απλό τρόπο εκτίμησης που περιγράφηκε στην αρχή, μπορούμε να είμαστε περισσότερο από 50% σίγουροι πως έχουμε εκτιμήσει σωστά. Όσο μάλιστα πιο πιθανό είναι το Ζ να βρίσκεται ανάμεσα στα δύο άλλα ποσά βάσει της επιλογής που κάναμε στην αρχή, τόσο μεγαλύτερη και η πιθανότητα να έχουμε δίκιο.
Μια μαθηματική απόδειξη των παραπάνω έχει ως εξής: Έστω πως Χ,Υ ακέραιοι που βρίσκονται εντός ενός αυθαίρετα μεγάλου διαστήματος [Α,Τ]. Διακρίνουμε δύο δυνατές περιπτώσεις: Α) Χ < Υ και Β) Χ > Υ.
Περίπτωση Α: Υπολογίζουμε την πιθανότητα P να ισχύει ότι Χ-Α < Τ-Χ. Αυτή βρίσκεται από το πηλίκο του συνόλου των συνδυασμών των Χ και Υ όπου Χ-Α < Τ-Χ, προς το σύνολο των συνδυασμών των Χ και Υ χωρίς την πιο πάνω συνθήκη και τα δύο με την προϋπόθεση όπως είπαμε ότι Χ<Υ. Η πιθανότητα αυτή είναι:
Ισχύει ότι P >= 0,5 για κάθε Α,Τ. Είναι δηλαδή πιθανότερο να ισχύει ότι Χ-Α < Τ-Χ απ' ότι Χ-Α > Τ-Χ. Έτσι όταν το Ζ τοποθετείται σε μια τυχαία θέση εντός του διαστήματος [Α,Τ] είναι πιθανότερο να ισχύει ότι Ζ > Χ παρά ότι Ζ < Χ.
Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και για την Περίπτωση Β και βρίσκουμε πως είναι πιθανότερο να ισχύει ότι Ζ < Χ παρά ότι Ζ > Χ.
Συνεπώς αν εκ του αποτελέσματος προκύψει ότι Ζ > Χ τότε αυτό είναι πιθανότερο να οφείλεται στην Περίπτωση Α παρά στην Περίπτωση Β και αντίστοιχα για Ζ < Χ.
Θα αναλύσω και μια δεύτερη πιθανή εξήγηση ότι η πιθανότητα είναι μεγαλύτερη του 50% η οποία όμως δεν λειτουργεί. Μπορεί κάποιος να ισχυριστεί πως όταν ανοίξουμε το ένα ποσό (έστω το Χ) τότε τα πιθανά ποσά που μπορεί να περιέχει ο άλλος φάκελος και είναι μεγαλύτερα από X είναι όλοι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του Χ, δηλαδή άπειρα. Αντίθετα, τα πιθανά ποσά που μπορεί να είναι μικρότερα του Χ είναι πεπερασμένα. Οπότε είναι και απείρως πιθανότερο να περιέχει ο άλλος φάκελος ένα ποσό μεγαλύτερο του Χ.
Η λογική αυτή δεν στέκει για δύο λόγους: Πρώτον γιατί υπάρχει ένα πάνω όριο στο ανώτερο ποσό που μπορεί να χωρέσει ο άλλος φάκελος. Και δεύτερον γιατί οι όροι που τέθηκε το πρόβλημα είναι συμμετρικοί ως προς τους δύο φακέλους. Δηλαδή μπορεί κάποιος να επιλέξει τον φάκελο με το Y ποσό και με την ίδια συλλογιστική να ισχυριστεί πως είναι απείρως πιθανότερο να είναι το X ποσό μεγαλύτερο. Κάτι τέτοιο αποτελεί λογική αντίφαση και συνεπώς αυτή η συλλογιστική πρέπει να απορριφθεί ως εσφαλμένη.
Intelligence is like a river: the deeper it is the less noise it makes.
Πίσω