Πίσω
Παρότι το πρόβλημα έχει μια καθαρά γεωμετρική λύση, εδώ θα παρουσιάσω μια λύση με τη χρήση των μιγαδικών αριθμών για το λόγο ότι είναι πολύ απλούστερη. Προϋπόθεση για την παρακολούθησή της είναι η εξοικείωση με τη γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών. Θα αναφέρω συνοπτικά ότι οι φανταστικοί αριθμοί ορίζονται πάνω σε έναν άξονα που τέμνει κάθετα τον άξονα των πραγματικών αριθμών στο σημείο 0 και οι δύο αυτοί άξονες ορίζουν ένα μιγαδικό επίπεδο.
Όταν συμβολίζουμε ένα διάνυσμα σ' αυτό το επίπεδο σαν α + iβ, εννοούμε πως έχει την αρχή του στην αρχή των αξόνων και το τέλος του στο σημείο που ορίζεται από τις συντεταγμένες α στον άξονα των πραγματικών και β στον άξονα των φανταστικών αριθμών. Τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το i συμβολίζει το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των φανταστικών αριθμών (το μοναδιαίο διάνυσμα των πραγματικών αριθμών παραλείπεται). Όταν θέλουμε να στρέψουμε το παραπάνω διάνυσμα κατά 90 μοίρες αριστερά στο μιγαδικό επίπεδο, απλώς το πολλαπλασιάζουμε επί i. Επειδή το i αντιπροσωπεύει τη ρίζα του μείον ένα, ισχύει ότι i * i = -1.
Για τη λύση τώρα, θέτουμε σαν άξονα των πραγματικών αριθμών την ευθεία που περνάει από τη βελανιδιά και το πεύκο και σαν σημείο 0 αυτού του άξονα το μέσο του διαστήματος των δύο δέντρων. Θέτουμε το σημείο που βρίσκεται η βελανιδιά σαν -1, οπότε το πεύκο βρίσκεται στο σημείο +1. Θεωρούμε και τον φανταστικό άξονα να τέμνει κάθετα τον πραγματικό στο σημείο 0. Θεωρούμε ότι η θέση της αγχόνης (όταν υπήρχε) οριζόταν από το διάνυσμα α + iβ στο σύστημα συντεταγμένων που θέσαμε. Μετατοπίζουμε προσωρινά την αρχή των αξόνων στη θέση της βελανιδιάς. Έτσι το διάνυσμα της αγχόνης ως προς τη βελανιδιά γίνεται τώρα (α+1) + iβ. Για να βρούμε τη θέση που πρέπει να τοποθετηθεί ο πρώτος πάσσαλος πρέπει να περιστρέψουμε αυτό το διάνυσμα κατά 90 μοίρες προς τα αριστερά, οπότε το πολλαπλασιάζουμε επί i και γίνεται -β + i(α+1). Επομένως η θέση του πρώτου πασσάλου ως προς την κανονική μας αρχή των αξόνων δίνεται απ' το διάνυσμα (-β-1) + i(α+1). Στη συνέχεια κάνουμε μια δεύτερη προσωρινή μετατόπιση της αρχής των αξόνων πάνω στο πεύκο. Το διάνυσμα θέσης της αγχόνης ως προς το πεύκο είναι (α-1) + iβ. Για να βρούμε τη θέση του δεύτερου πασσάλου πρέπει να στρέψουμε αυτό το διάνυσμα κατά 90 μοίρες προς τα δεξιά, οπότε το πολλαπλασιάζουμε με -i και γίνεται β - i(α-1). Ως προς την κανονική αρχή των αξόνων η θέση του δεύτερου πασσάλου δίνεται από το διάνυσμα (β+1) - i(α-1). Ο θησαυρός βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τους δύο πασσάλους και επομένως το διάνυσμα θέσης του είναι το ημιάθροισμα των διανυσμάτων θέσης των δύο πασσάλων, δηλαδή ισούται με [(-β-1) + i(α+1) + (β+1) - i(α-1)] / 2 = i.
Βρίσκουμε δηλαδή πως η θέση του θησαυρού δεν εξαρτάται από τη θέση της αγχόνης και βρίσκεται μία μονάδα πάνω στον φανταστικό άξονα. Πρακτικά, για την εύρεση του θησαυρού θα πρέπει πρώτα να ενώσει τη βελανιδιά με το πεύκο με μία ευθεία γραμμή, μετά να μετρήσει τα βήματα που χρειάζονται για να πάει από τη βελανιδιά ή το πεύκο προς το μέσο της μεταξύ τους απόστασης και τέλος να κινηθεί από το μέσο τόσο βήματα κάθετα προς τα πάνω, έχοντας τη βελανιδιά στο αριστερό του χέρι. Εναλλακτικά, θα μπορούσε να βάλει ένα σημάδι που θα αντιπροσωπεύει την αγχόνη σε οποιοδήποτε σημείο του νησιού, στη συνέχεια να ακολουθήσει ακριβώς τις οδηγίες του χάρτη και θα κατέληγε πάλι στο σωστό σημείο που είναι θαμμένος ο θησαυρός.
Αν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους μιγαδικούς αριθμούς τότε μπορείτε να καταλήξετε στο ίδιο αποτέλεσμα και με τη χρήση διανυσμάτων. Συμβολίζουμε σαν αi + βj ένα διάνυσμα με συντεταγμένες α και β στον δισδιάστατο χώρο. Το i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των x και το j είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των y.
Αν θέλουμε να στρέψουμε το παραπάνω διάνυσμα κατά 90 μοίρες με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού τότε το μετασχηματίζουμε σε -βi + αj. Και αν θέλουμε να το στρέψουμε κατά 90 μοίρες σύμφωνα με τη φορά των δεικτών τότε το μετασχηματίζουμε σε βi – αj.
Ακολουθώντας την παραπάνω μέθοδο λύσης του προβλήματος, συμβολίζουμε με αi + βj τη θέση της αγχόνης. Με τη μετατόπιση της αρχής των αξόνων στη θέση της βελανιδιάς το διάνυσμα γίνεται: (α+1)i + βj. Με τη στροφή του προς τα αριστερά γίνεται: -βi + (α+1)j. Με την επαναφορά της αρχής των αξόνων στην αρχική τους θέση, γίνεται: (-β-1)i + (α+1)j.
Αντίστοιχα για τη μετατόπιση και στροφή από τη θέση του πεύκου έχουμε: Μετατόπιση: (α-1)i + βj. Δεξιά στροφή: βi - (α-1)j. Επαναφορά: (β+1)i - (α-1)j.
Το ημιάθροισμα των διανυσμάτων θέσης των δύο πασσάλων γίνεται: [(-β-1)i + (α+1)j + (β+1)i - (α-1)j] / 2 = 1j.
Οπότε καταλήγουμε πάλι στο αποτέλεσμα πως ο θησαυρός βρίσκεται μία μονάδα πάνω στον κάθετο άξονα.
Pressure and time transform coals into diamond.