Πιο συγκεκριμένα, αν τοποθετήσουμε το γαλάζιο και το κίτρινο κομμάτι ώστε να σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία, η κλίση της πλευράς τους που κανονικά θα έπρεπε να εφάπτεται είναι διαφορετική. Αυτό φαίνεται από τις γωνίες φ και θ που σημειώνονται στο σχήμα. Έχουμε tanφ = 3/8 = 0,375 και tanθ = 2/5 = 0,4. Άρα οι δύο γωνίες δεν είναι μεταξύ τους ίσες. Το εμβαδόν του κενού χώρου που μένει ισούται με το εμβαδόν ενός μικρού τετραγώνου. Η παρακάτω ανάλυση αφορά τη γενίκευση αυτής της εφαρμογής.
Το ίδιο φαινόμενο θα παρατηρούταν και στην περίπτωση που κόβαμε με τον ίδιο τρόπο ένα χαρτόνι με διαστάσεις 13 x 13 και το αναδιατάσσαμε σε ένα ορθογώνιο 21 x 8. Τώρα όμως το αρχικό τετράγωνο έχει 169 τετραγωνάκια ενώ το νέο ορθογώνιο έχει 168. Δηλαδή στην περίπτωση αυτή λείπει αντί να περισσεύει ένα τετράγωνο. Αυτό γεωμετρικά οφείλεται στο ότι τα κομμάτια του ορθογωνίου τώρα επικαλύπτονται κατά μήκος της μεγάλης διαγωνίου.
Ας δούμε πως αναλύεται μαθηματικά κάθε περίπτωση αυτής της εφαρμογής. Πίσω της κρύβεται μια πολύ γνωστή ακολουθία στους μαθηματικούς με το όνομα ακολουθία Fibonacci. Κάθε όρος αυτής της ακολουθίας είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων της, αρχίζοντας με τους όρους 0 και 1. Έτσι, οι πρώτοι όροι της ακολουθίας Fibonacci είναι οι: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Συμβολίζουμε με F(n) τον n-οστό όρο της ακολουθίας Fibonacci, αρχίζοντας την αρίθμηση από n=0. Έτσι π.χ. F(6) = 8. Τώρα παρατηρούμε πως όλες οι φαινομενικά παράδοξες κατασκευές είναι τετράγωνα με διαστάσεις F(n) x F(n) και αναδιατάσσονται σε ορθογώνια με διαστάσεις F(n+1) x F(n-1). Το εμβαδόν του νέου σχήματος διαφέρει από το αρχικό πότε κατά -1 και πότε κατά +1 τετραγωνάκι, ανάλογα με το n. Αυτό μαθηματικά γράφεται ως:
F(n+1) x F(n-1) - F(n) x F(n) = (-1)n
μια ισότητα που είναι γνωστή σαν ταυτότητα Cassini και η οποία αποδεικνύεται μαθηματικά.
Πίσω