ΠίσωΑπό τα πρώτα χρόνια της διατύπωσης της θεωρίας των πιθανοτήτων και του τύπου υπολογισμού της αναμενόμενης τιμής, διάφοροι μαθηματικοί έκαναν προτάσεις για τη λύση αυτού του παραδόξου. Θα αναφέρω τις δύο καλύτερες από αυτές:
Η πρόταση του Gabriel Cramer ήταν πως ο διοργανωτής του παιχνιδιού ίσως τελικά να μην μπορέσει να ανταποκριθεί στους όρους πληρωμής που έθεσε, μιας και το ποσό που θα πρέπει να πληρώσει αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο ενώ πρακτικά υπάρχει κάποιο όριο χρημάτων το οποίο δεν θα μπορέσει να υπερβεί. Αν π.χ. το ανώτερο ποσό που μπορεί να πληρώσει είναι 33,5 εκατομμύρια ευρώ, το Ν μπορεί να φτάσει μέχρι την τιμή 25. Οπότε 25 ευρώ είναι το αναμενόμενο κέρδος σας και αντίστοιχα το ποσό που θα σας συνέφερε να πληρώσετε σαν εισιτήριο για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι.
Ο Daniel Bernoulli έκανε μια άλλη ενδιαφέρουσα παρατήρηση: Είπε πως όσο αυξάνονται τα ποσά, ο διπλασιασμός του επάθλου δεν συνεπάγεται και διπλασιασμό του οφέλους που αποκομίζει κανείς από το νέο έπαθλο. Με άλλα λόγια, αν υποθέσουμε πως ένα κέρδος 1.000 ευρώ μας κάνει μία φορά ευτυχισμένους, τότε ένα κέρδος 1.000.000 ευρώ μας κάνει λιγότερο από 1.000 φορές ευτυχισμένους. Όσο αυξάνονται τα ποσά τόσο επέρχεται κορεσμός της ευτυχίας που αποκομίζουμε από τα χρήματα. Όμως ο τύπος του αναμενόμενου κέρδους που χρησιμοποιήσαμε δεν λαμβάνει υπόψη αυτόν τον ανθρώπινο κοινωνικο-οικονομικό παράγοντα και στις περιπτώσεις που το υπολογιζόμενο κέρδος αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο θα ήταν πιο χρήσιμο για εμάς να αντικαταστήσουμε στον τύπο τα χρήματα με μονάδες οφέλους ή χρησιμότητας, με βάση κάποια συνάρτηση οφέλους που εξαρτάται από το ποσό που κερδίζουμε. Τέτοια παραδείγματα θα μπορούσαν να είναι η τετραγωνική ρίζα ή ο λογάριθμος του ποσού, συναρτήσεις οι οποίες οδηγούν σε πεπερασμένες και μάλιστα μικρές αναμενόμενες αποδόσεις.
Intelligence is like a river: the deeper it is the less noise it makes.