Γρίφοι Ζυγίσεων

Τρεις ζυγαριές (*****)

Έχουμε 9 πανομοιότυπα νομίσματα, 8 γνήσια και ένα κάλπικο. Τα γνήσια ζυγίζουν το ίδιο, το κάλπικο είναι ελαφρύτερο. Έχουμε και 3 ζυγαριές με δίσκους. Οι δύο είναι κανονικές, ενώ η τρίτη είναι αναξιόπιστη και μπορεί να ισορροπεί ή να γέρνει από κάποια πλευρά, ανεξάρτητα από τον συσχετισμό των βαρών σε κάθε δίσκο της. Δεν γνωρίζουμε ποια είναι η αναξιόπιστη ζυγαριά.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων που θα χρειαστεί να κάνουμε προκειμένου να εντοπίσουμε με βεβαιότητα το κάλπικο νόμισμα;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Έχετε μπροστά σας έναν σάκο που περιέχει 101 νομίσματα, εκ των οποίων τα 51 είναι γνήσια και τα 50 κάλπικα. Τα κάλπικα με τα γνήσια δεν διακρίνονται μεταξύ τους. Όλα τα γνήσια νομίσματα έχουν το ίδιο βάρος όπως και όλα τα κάλπικα. Ένα γνήσιο νόμισμα έχει διαφορά βάρους 1 γραμμάριο από ένα κάλπικο.
Έχετε στη διάθεσή σας και μια ζυγαριά με δύο δίσκους, η οποία περιλαμβάνει μία οθόνη που δείχνει τη διαφορά σε γραμμάρια που έχουν οι δύο δίσκοι κατά τη διάρκεια μιας ζύγισης. Προφανώς αν οι δίσκοι ισορροπούν η ένδειξη θα είναι 0, αλλιώς θα δείξει πόσα γραμμάρια βαρύτερος είναι ο πιο βαρύς δίσκος.
Διαλέγω στην τύχη ένα νόμισμα από τον σάκο και το βάζω στην τσέπη μου. Πόσες ζυγίσεις θα χρειαστεί να κάνετε για να προσδιορίσετε αν το νόμισμα που έβαλα στην τσέπη μου είναι γνήσιο ή κάλπικο;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Στην κατοχή ενός εμπόρου ναρκωτικών βρέθηκαν 80 αδιάκριτα μεταξύ τους χάπια από τα οποία τα 2 ή 3 από αυτά περιέχουν το ναρκωτικό LSD και τα υπόλοιπα είναι απλές ασπιρίνες.
Ο αστυνόμος Σαΐνης γνωρίζει ότι τα χάπια LSD είναι 3 και ποια ακριβώς είναι αυτά, αλλά πρέπει να το αποδείξει και στο δικαστήριο, γιατί με 3 χάπια ο κατηγορούμενος δικάζεται για διακίνηση ενώ με 2 δικάζεται για απλή κατοχή. Το δικαστήριο γνωρίζει ότι τα χάπια LSD είναι 2 ή 3 και επίσης γνωρίζει ότι ένα χάπι LSD ζυγίζει 1 γραμμάριο λιγότερο από ένα χάπι ασπιρίνης.
Δυστυχώς οι αρχές δεν μπορούν να δώσουν τα χάπια για ανάλυση, γιατί υπάρχει ένας περίεργος νόμος που λέει ότι απαγορεύεται να αποκαλυφθεί η ταυτότητα οποιουδήποτε χαπιού (LSD ή ασπιρίνης), μιας και αυτό θεωρείται παραβίαση των προσωπικών δεδομένων του κατόχου του. Γι αυτό το δικαστήριο παρέχει στον Σαΐνη μια ζυγαριά ακριβείας δύο δίσκων με την οποία μπορεί να κάνει όσες ζυγίσεις θέλει ενώπιον των δικαστών για να αποδείξει το ζητούμενο, φτάνει να μην προκύπτει οποιαδήποτε στιγμή η ταυτότητα οποιουδήποτε χαπιού. Η δίκη κινηματογραφείται, οπότε ακόμα και αν μπερδέψει τα χάπια μεταξύ τους, θα φανεί στο βίντεο τι ακριβώς έκανε.
Ποιες ζυγίσεις θα πραγματοποιήσει ο Σαΐνης για να αποκαλυφθεί ότι τα χάπια LSD είναι 3;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Στο δάπεδο βρίσκονται 138 σακιά με 100 φλουριά το καθένα. Ένα από τα σακιά περιέχει κάλπικα νομίσματα βάρους 9 γρ. το καθένα, ενώ όλα τα υπόλοιπα περιέχουν γνήσια νομίσματα βάρους 10 γρ. το καθένα. Διαθέτουμε μια ζυγαριά ακριβείας τριών ψηφίων, η οποία μπορεί να ζυγίσει με ακρίβεια οποιοδήποτε βάρος έως 999 γρ. Πόσες ζυγίσεις είναι απαραίτητες για να εντοπίσουμε με βεβαιότητα το σακί με τα κάλπικα νομίσματα;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Έχουμε μια ζυγαριά ισορροπίας δύο δίσκων και 11 νομίσματα εκ των οποίων το ένα είναι κάλπικο. Πόσες ζυγίσεις χρειαζόμαστε κατ' ελάχιστο για να προσδιορίσουμε εάν το κάλπικο νόμισμα είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο από τα υπόλοιπα;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Έχουμε 8 βόλους. Ξέρουμε πως οι 7 έχουν το ίδιο βάρος και πως ο ένας είναι ελαφρύτερος. Πόσες ζυγίσεις θα χρειαστεί να κάνουμε σε μια ζυγαριά δύο δίσκων προκειμένου να εντοπίσουμε τον ελαφρύτερο βόλο;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Έχουμε 5 βόλους διαφορετικών βαρών μεταξύ τους και μία ζυγαριά δύο δίσκων. Πόσες το πολύ ζυγίσεις θα χρειαστεί να κάνουμε, αν χρησιμοποιήσουμε τη ζυγαριά με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο, ώστε να κατατάξουμε και τους 5 βόλους από τον ελαφρύτερο προς τον βαρύτερο; Περιγράψτε τη μέθοδο που πρέπει να ακολουθήσουμε.

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Ο βασιλιάς Ιέρων έχει έντεκα ράβδους χρυσού, 1, 2, 3, ...,11 κιλών αντιστοίχως. Η κάθε ράβδος έχει πάνω της ένα σύμβολο για να την ξεχωρίζει από τις υπόλοιπες. Ο Αρχιμήδης ισχυρίζεται ότι γνωρίζει το βάρος της κάθε ράβδου. Για να δοκιμάσει τον ισχυρισμό (και την εξυπνάδα) του Αρχιμήδη, ο βασιλιάς ζήτησε από αυτόν να του υποδείξει ποια είναι η ράβδος του 1 κιλού και να του το αποδείξει. Αντί για ζυγαριά, ο βασιλιάς έδωσε στον Αρχιμήδη ένα και μοναδικό σακί που αντέχει βάρος μέχρι 11 κιλά, αλλιώς σκίζεται και είναι πλέον άχρηστο. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρήσεων του σακιού που απαιτούνται για να καταφέρει ο Αρχιμήδης το ζητούμενο και ποιες ράβδους θα βάλει μέσα του σε κάθε χρήση;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ