Γρίφοι Συνδυαστικής σκέψης

Μοίρασμα καραμελών (***)

Ο μπαμπάς μοίρασε στους τέσσερις γιους του 11 καραμέλες. Και τα 4 παιδιά πήραν καραμέλες, αλλά το καθένα δεν γνωρίζει πόσες πήραν τα άλλα και έτσι ακολουθεί ο παρακάτω διάλογος μεταξύ τους:
- Αριστείδης: Βαγγέλη πήρες περισσότερες καραμέλες από εμένα;
- Βαγγέλης: Δεν ξέρω. Γρηγόρη πήρες περισσότερες καραμέλες από εμένα;
- Γρηγόρης: Δεν ξέρω.
- Δήμος: Εγώ όμως τώρα ξέρω πόσες καραμέλες πήρε ο καθένας μας.
Πόσες καραμέλες πήρε το κάθε παιδί;

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Η δασκάλα είπε στα 20 παιδιά της τάξης της μόλις τελείωσε το μάθημα πως την επόμενη ημέρα όποιοι θέλουν μπορούν να μην έρθουν για μάθημα, χωρίς να πάρουν απουσία. Τους είπε πως θα έβαζε απουσία μόνο σε έναν μαθητή και μετά τους ανακοίνωσε ποιος θα ήταν αυτός. Ο κάθε μαθητής θα ήθελε να μην πάει για μάθημα την επόμενη ημέρα εκτός κι αν ήταν σίγουρος πως θα ήταν αυτός που θα έπαιρνε την απουσία. Ποια μπορεί να ήταν η ανακοίνωση της δασκάλας ώστε να έρθουν όσο το δυνατόν περισσότερα παιδιά για μάθημα;

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Κάποιος δείχνει σε τρεις λογικολόγους 7 γραμματόσημα: 2 άσπρα, 2 μαύρα και 3 κόκκινα. Τους λέει πως θα τους δέσει τα μάτια, θα βάλει από ένα γραμματόσημο στο μέτωπο του κάθε λογικολόγου και τα υπόλοιπα θα τα κρύψει. Όταν τους ελευθέρωσε τα μάτια, ο κάθε λογικολόγος μπορεί να βλέπει τα γραμματόσημα των άλλων δύο αλλά όχι το δικό του.
Ρωτάει λοιπόν τον 1ο: Μπορείς να μου πεις ένα χρώμα από τα τρία που σου έδειξα το οποίο σίγουρα δεν έχει το γραμματόσημό σου; Η απάντηση του λογικολόγου ήταν αρνητική. Επαναλαμβάνει την ίδια ερώτηση στον 2ο λογικολόγο και παίρνει επίσης αρνητική απάντηση.
Με αυτές τις πληροφορίες, μπορείτε να βρείτε το χρώμα του γραμματοσήμου ενός από τους τρεις λογικολόγους και ποιος από τους τρεις το έχει;

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Εσείς και ο Βασίλης έχετε κερδίσει σε ένα διαγωνισμό λύσης προβλημάτων λογικής. Ο διοργανωτής σας δίνει από μία επιταγή στον καθένα και σας ανακοινώνει πως το ποσό της κάθε επιταγής μπορεί να είναι από 5 μέχρι 160 ευρώ και πως η μία επιταγή έχει το διπλάσιο ποσό της άλλης. Κοιτάζετε κρυφά τη δική σας επιταγή και βλέπετε πως έχει το ποσό των 10 ευρώ. Ο Βασίλης κοιτάζει κρυφά τη δική του επιταγή. Ο διοργανωτής σας ανακοινώνει πως έχετε την επιλογή να ανταλλάξετε τις επιταγές σας αρκεί να το επιθυμείτε και οι δύο. Θα ζητήσετε εσείς προσωπικά ανταλλαγή ή όχι και γιατί;

Διευκρινίσεις:
1) Θεωρήστε πως είναι το ίδιο πιθανό να έχει η μία επιταγή το μισό ή το διπλάσιο ποσό της άλλης.
2) Η αίτηση για ανταλλαγή ή όχι των επιταγών υποβάλλεται μυστικά στον διοργανωτή, χωρίς να γνωρίζει ο ένας παίκτης ποια είναι η απόφαση του άλλου.

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Δύο φοιτητές μαθηματικών, ο Άρης και ο Γιώργος, ενδιαφέρονται για την ίδια συμφοιτήτριά τους τη Μαρία. Αυτή τους είπε πως θα τα φτιάξει με αυτόν που θα αποδειχτεί πιο έξυπνος από τους δύο. Έβαλε στο μυαλό της δύο ακέραιους αριθμούς από το 3 έως το 100 και ψιθύρισε στον Άρη το άθροισμά τους και στον Γιώργο το γινόμενό τους. Τους εξήγησε τους κανόνες και τους είπε πως όποιος από τους δύο καταφέρει να βρει τους δύο αριθμούς θα κερδίσει την καρδιά της. Τότε οι δύο φοιτητές έκαναν μεταξύ τους τον παρακάτω διάλογο:

- Άρης: Ξέρω πως δεν μπορείς να βρεις τους αριθμούς. Δυστυχώς ούτε κι εγώ μπορώ.
- Γιώργος: Τώρα με αυτό που είπες τους βρήκα!
- Άρης: Τώρα τους βρήκα κι εγώ!

Στο τέλος έμειναν κι οι δύο μπουκάλες γιατί ήρθαν ισοπαλία, αλλά τουλάχιστον πήραν την ικανοποίηση πως έλυσαν το γρίφο της Μαρίας. Ποιοι ήταν οι δύο αριθμοί;
Σαν βοήθεια δίνεται η Εικασία του Goldbach που λέει πως κάθε ζυγός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δύο πρώτων. Παρόλο που δεν έχει αποδειχτεί για κάθε αριθμό, ισχύει στα σίγουρα μέσα στα όρια που θέτει το πρόβλημα.

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Τρεις λογικολόγοι, ο Α ο Β και ο Γ, φοράνε από ένα καπέλο το οποίο έχει πάνω του έναν θετικό ακέραιο αριθμό. Ο καθένας μπορεί να βλέπει τους αριθμούς στα καπέλα των άλλων δύο αλλά δεν ξέρει τον αριθμό του δικού του καπέλου. Η μόνη πληροφορία που τους δίνεται είναι ότι το άθροισμα των αριθμών των δύο καπέλων μας δίνει τον αριθμό στο τρίτο καπέλο. Τους ζητείται με τη σειρά να βρουν τον αριθμό που έχει ο καθένας στο καπέλο του και δίνονται οι πιο κάτω απαντήσεις:

- Α: Δεν γνωρίζω
- Β: Δεν γνωρίζω
- Γ: Δεν γνωρίζω
- Α: Ο αριθμός μου είναι το 50.

Ποιους αριθμούς έχουν τα καπέλα του Β και του Γ και πως κατέληξε ο Α σε αυτό το συμπέρασμα;

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Ο μπαμπάς ψιθυρίζει από έναν ακέραιο αριθμό μεγαλύτερο του 0 στο αυτί καθενός από τους τρεις γιους του. Μετά ανακοινώνει σε όλους πως το άθροισμα των τριών αριθμών είναι το 14 και τους ρωτάει με τη σειρά αν κάποιος γνωρίζει τι αριθμό έχει ο καθένας τους.
Ο πρώτος λέει πως δεν γνωρίζει, αλλά είναι σίγουρος πως οι άλλοι δύο έχουν διαφορετικό αριθμό ο καθένας.
Ο δεύτερος λέει πως δεν γνωρίζει, αλλά ήξερε πως όλοι έχουν διαφορετικό αριθμό πριν καν ακούσει τον πρώτο.
Οπότε ο τρίτος ανακοινώνει πως τώρα πλέον γνωρίζει τον αριθμό του καθενός.
Ποιον αριθμό έχει ο καθένας από τους τρεις γιους;

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Ένας βασιλιάς έχει πιάσει δύο αδέλφια για κρατούμενους και τους κρατά κλειδωμένους σε δύο ξεχωριστούς πύργους. Οι κρατούμενοι δεν θα μπορούν να επικοινωνούν με κανέναν τρόπο μεταξύ τους. Από το παράθυρο του κελιού τους μπορούν να δουν ένα διαφορετικό μέρος του κήπου ο καθένας. Στον κήπο υπάρχουν 20 δέντρα. Ο κρατούμενος Α βλέπει 12 δέντρα από τον πύργο του και ο κρατούμενος Β βλέπει 8 δέντρα από τον δικό του πύργο.
Ο βασιλιάς τους είπε πως και οι δύο μαζί βλέπουν όλα τα δέντρα του κήπου και πως κανένα δέντρο δεν το βλέπουν και οι δύο μαζί. Επίσης τους είπε πως κάθε βράδυ, ξεκινώντας από την ημέρα που φυλακίστηκαν, θα ακολουθείται η εξής διαδικασία: ένας φρουρός θα επισκέπτεται τον κρατούμενο Α και θα του κάνει την εξής ερώτηση: «Υπάρχουν 18 ή 20 δέντρα στον κήπο;» Αν ο κρατούμενος δεν γνωρίζει την απάντηση μπορεί να μην απαντήσει. Τότε ο φρουρός θα επισκέπτεται τον κρατούμενο Β και θα του κάνει την ίδια ερώτηση. Αν και πάλι δεν πάρει απάντηση, η ερώτηση θα επαναλαμβάνεται το επόμενο βράδυ ξεκινώντας από τον Α. Αν κάποιος από τους δύο απαντήσει στην ερώτηση, τότε αν έχει απαντήσει σωστά θα ελευθερωθούν και οι δύο, αν όμως έχει απαντήσει λάθος θα εκτελεστούν. Μιας και είναι και οι δυο τους πολύ λογικοί άνθρωποι, κανένας τους δεν θα ρισκάρει να δώσει μια απάντηση εκτός κι αν είναι σίγουρος πως είναι η σωστή.
Θα ελευθερωθούν ποτέ οι κρατούμενοι και αν ναι, σε πόσες μέρες;

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ

Τρεις λογικολόγοι πρόκειται να παίξουν ένα παιχνίδι. Θα καθίσουν σε τρεις καρέκλες και ένας διαιτητής θα βάλει στα κρυφά δύο βούλες στο μέτωπο του καθενός, έτσι ώστε ο καθένας τους να μπορεί να βλέπει τις βούλες των άλλων δύο, αλλά όχι τις δικές του. Ο διαιτητής έχει στη διάθεσή του 4 κόκκινες και 4 μαύρες βούλες. Θα επιλέξει τυχαία τις 6 βούλες που θα βάλει στα μέτωπα των τριών παικτών και θα του περισσέψουν 2 που δεν θα χρησιμοποιήσει και θα τις κρύψει μετά την τοποθέτηση.
Οι παίκτες με τη σειρά, ερωτούνται για το χρώμα που έχουν οι βούλες στο μέτωπό τους. Σκοπός του παιχνιδιού είναι κάποιος παίκτης να απαντήσει σωστά και να τεκμηριώσει τη λογική διαδικασία που τον οδήγησε στην απάντησή του. Αν κάποιος παίκτης δεν ξέρει τι χρώμα βούλες έχει, ερωτάται ο αμέσως επόμενος. Η σειρά των ερωτήσεων, ανάλογα με τη θέση που κάθονται, είναι η εξής: 1 – 2 – 3 – 1 – 2 – 3 - κλπ.
Πριν ξεκινήσει το παιχνίδι ερωτάται ο πρώτος λογικολόγος σε ποια από τις τρεις θέσεις θέλει να καθίσει. Ποια θέση πρέπει να διαλέξει και γιατί;

Μόνο για Μέλη: στείλτε την απάντησή σας εδώ