Γρίφοι Πιθανοτήτων

Παιχνίδι με ζάρι (****)

Έχουμε 6 άτομα αριθμημένα από 1 έως 6. Ο παίκτης Νο.1 ξεκινάει ρίχνοντας ένα ζάρι. Εάν το ζάρι φέρει 1, τότε ο παίκτης Νο.1 κερδίζει και το παιχνίδι λήγει. Εάν φέρει έναν αριθμό Ν διαφορετικό από 1, τότε το ζάρι περνάει στον παίκτη Νο. Ν, ο οποίος επαναλαμβάνει τη διαδικασία. Εάν δηλαδή το ζάρι φέρει τον αριθμό Ν, ο παίκτης Ν κερδίζει και το παιχνίδι λήγει, διαφορετικά το ζάρι περνάει στον παίκτη που έχει τον αριθμό που έφερε το ζάρι κ.ο.κ.
Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Νο.1;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Στην τελική φάση του τηλεπαιχνιδιού "Πάνω Κάτω" ο παίκτης καλείται να αντιστοιχίσει σωστά 5 στοιχεία σε 5 θέσεις. Η σωστή αντιστοίχιση είναι θέμα γνώσεων και είναι μοναδική. Η διαδικασία έχει ως εξής: Ο παίκτης κάνει μια δοκιμαστική αντιστοίχιση και των 5 στοιχείων στις 5 θέσεις και ο παρουσιαστής του παιχνιδιού αποκαλύπτει το πλήθος των αντιστοιχίσεων που έχουν γίνει σωστά, χωρίς να του πει ποιες ακριβώς είναι αυτές. Αν δεν έκανε όλες τις αντιστοιχίσεις σωστά στην πρώτη του προσπάθεια, ο παίκτης έχει δικαίωμα με βάση το πλήθος των σωστών αντιστοιχίσεων που άκουσε να δοκιμάσει ξανά, αλλάζοντας όσα στοιχεία θέλει μεταξύ τους. Αν καταφέρει να αντιστοιχίσει σωστά τα 5 στοιχεία στις 5 θέσεις είτε στην πρώτη είτε στη δεύτερη προσπάθεια, κερδίζει το μεγάλο βραβείο του παιχνιδιού.
Βρείτε την πιθανότητα που έχει ένας παίκτης να κερδίσει το μεγάλο βραβείο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Γνωρίζει τις 3 αντιστοιχίσεις αλλά όχι τις άλλες 2.
β) Γνωρίζει τις 2 αντιστοιχίσεις αλλά όχι τις άλλες 3.
γ) Γνωρίζει ότι τα στοιχεία Α,Β αντιστοιχούν στις θέσεις 1,2 και ότι τα στοιχεία Γ,Δ αντιστοιχούν στις θέσεις 3,4 αλλά δεν ξέρει ακριβώς ποιο στοιχείο πάει σε ποια θέση.

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Σε ένα καφενείο, ακούτε τον παρακάτω διάλογο μεταξύ δύο οπαδών:
- Οπαδός Α: Στον αγώνα μπάσκετ το βράδυ, κατά 60% έχετε χάσει. Αν θέλεις πάμε και στοίχημα.
- Οπαδός Β: Τι λες βρε κακομοίρη; 7 φορές αν παίξουμε, τις 4 θα σας διαλύσουμε. Ότι στοίχημα θέλεις.
Σκέφτεστε πως αυτή η συζήτηση είναι μια καλή ευκαιρία για να βγάλετε εσείς κάποια σίγουρα χρήματα. Προτείνετε λοιπόν σε όποιον οπαδό θέλετε ή και στους δύο μαζί πως αν κερδίσει η ομάδα του θα του δώσετε ένα ποσό x ευρώ, ενώ εάν χάσει θα σας δώσει εκείνος y ευρώ. Φυσικά το στοίχημα που θα του προτείνετε πρέπει να τον συμφέρει για να το δεχτεί, ενώ αν προτείνετε στοίχημα και στους δύο θα πρέπει να είναι το ίδιο στοίχημα και για τους δύο. Ποια ποσά θα βάζατε στη θέση των x και y;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Ο Μανώλης και η Ζωή παίζουν το εξής παιχνίδι: Ρίχνουν εναλλάξ ένα ζάρι μέχρι να φέρει διαδοχικά τους αριθμούς 1-2-3. Τότε όποιος έφερε το 3 κερδίζει. Ποια ακριβώς είναι η πιθανότητα να κερδίσει η Ζωή;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Έριξα ένα κοινό εξάεδρο ζάρι μέχρι να φέρει 6. Πόσες φορές κατά μέσο όρο εκτιμάτε ότι χρειάστηκε να το ρίξω, αν σας πω ότι όλες οι ρίψεις μου έφεραν ζυγό νούμερο;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Ο Ρον έχει γεννηθεί την 4η Ιουλίου και βρίσκεται σε μία σειρά κατάταξης νεοσύλλεκτων στρατιωτών που έχουν γεννηθεί επίσης Ιούλιο. Ο υπεύθυνος της υποδοχής χρειάζεται έναν στρατιώτη λιγότερο απ’ όσους έχουν παρουσιαστεί, γι αυτό τους ανακοινώνει πως ο πρώτος που θα βρεθεί να έχει γεννηθεί την ίδια ημέρα με κάποιον που έχει περάσει ήδη θα απαλλαγεί των στρατιωτικών του υποχρεώσεων. Σε ποια σειρά πρέπει να μπει ο Ρον στην ουρά για να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να απαλλαγεί;

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ

Η γιορτή αποφοίτησης ενός πανεπιστημίου έγινε σε ένα καζίνο. Οι απόφοιτοι συμμετείχαν στο παρακάτω παιχνίδι: Πήρε ο καθένας τους 100 μάρκες που αντιστοιχούν σε 100 ευρώ. Οι παίκτες θα πρέπει να ποντάρουν αυτές τις μάρκες, σε μία ρουλέτα όσες φορές θέλουν και όσες από αυτές επιθυμούν μέχρι τις 3:00 τα ξημερώματα. Όποιος παίκτης έχει συγκεντρώσει τις περισσότερες μάρκες μέχρι τότε θα τις εξαργυρώσει σε πραγματικά χρήματα. Όταν η ώρα είχε πάει 2:59 είχαν μείνει μόνο δύο παίκτες στη ρουλέτα: Ο Ανδρέας που είχε 700 μάρκες και η Βασιλική που είχε 300 μάρκες. Όλοι οι υπόλοιποι παίκτες είχαν χάσει τις μάρκες τους.
Στο σημείο αυτό ας κάνουμε μια παρένθεση για να αναφέρουμε κάποια πράγματα για τις αποδόσεις των πονταρισμάτων σε μία ρουλέτα: Για απλοποίηση της κατάστασης, ας θεωρήσουμε πως υπάρχουν μόνο πονταρίσματα που κερδίζεις με πιθανότητα 1/2 στα οποία διπλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες, πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/3 τριπλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες, πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/9 9πλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες, πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/18 18πλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες και πονταρίσματα που με πιθανότητα 1/36 36πλασιάζεις τις μάρκες που πόνταρες. Σε κάθε γύρο ένας παίκτης μπορεί να κάνει ταυτόχρονα πονταρίσματα διαφορετικών αποδόσεων. Ας θεωρήσουμε επίσης ότι τα διάφορα είδη πονταρισμάτων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλαδή πως αν κερδίσεις σε ένα ποντάρισμα πιθανότητας 1/2 δεν επηρεάζεται η πιθανότητα να κερδίσεις ταυτόχρονα και σε ένα ποντάρισμα πιθανότητας 1/3.
Πίσω στο παιχνίδι μας λοιπόν, η Βασιλική αντιλαμβάνεται πως έχει χρόνο μόνο για έναν γύρο ακόμα. Αν δεν ποντάρει τίποτα στον τελευταίο γύρο, θα χάσει το έπαθλο. Σκέφτεται πως δεν έχει νόημα να ποντάρει τις 300 μάρκες της σε ποντάρισμα με πιθανότητα επιτυχίας 1/2 γιατί ακόμα και αν κέρδιζε θα κατέληγε με 600 μάρκες και πάλι θα υπολειπόταν του Ανδρέα που έχει 700. Αποφασίζει λοιπόν να ποντάρει και τις 300 μάρκες της σε ποντάρισμα με πιθανότητα επιτυχίας 1/3, ώστε αν κερδίσει να φτάσει τις 900 μάρκες. Αφού τοποθέτησε τις μάρκες της στη ρουλέτα, δεν έχει πια δικαίωμα να τις αφαιρέσει. Ο Ανδρέας βλέπει την κίνηση της Βασιλικής και σκέφτεται ποια είναι η καλύτερη δική του κίνηση έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να τελειώσει το παιχνίδι με περισσότερες μάρκες από αυτές τις Βασιλικής. Τι πρέπει να κάνει;
Σημείωση: Το παραπάνω σενάριο είναι βασισμένο σε πραγματικό περιστατικό. Ο πραγματικός «Ανδρέας», κουρασμένος και πιωμένος όπως ήταν, δεν έκανε την καλύτερη δυνατή επιλογή και κατέληξε να χάσει τελικά το έπαθλο, παρά το αρχικό του πλεονέκτημα.

Μόνο για Μέλη: Στείλτε την απάντησή σας εδώ