Λύση :

Στην παρακάτω ανάλυση αντικαθιστώ τις διαστάσεις του κουτιού με τις μεταβλητές x, y, z, έτσι ώστε x=40, y=30, z=20.
Κατ' αρχήν ο πιο ξεκάθαρος τρόπος για να υπολογίσουμε την ελάχιστη διαδρομή είναι να σχεδιάσουμε το σχήμα του κουτιού όπως θα ήταν αν το ανοίγαμε τελείως και το απλώναμε στο πάτωμα. Μετά αρκεί να ενώσουμε το σημείο της εκκίνησης με το σημείο του τερματισμού με μια ευθεία γραμμή. Μια τέτοια ευθεία θα είναι η ελάχιστη δυνατή διαδρομή που μπορεί να περπατήσει το μυρμήγκι.
Από κάθε δεδομένη κορυφή όμως, είναι δυνατόν να χαραχθούν 6 τέτοιες ευθείες προς τη διαμετρικά απέναντι κορυφή. Οι δύο από αυτές τέμνουν την πλευρά x, οι άλλες δύο τέμνουν την πλευρά y και οι άλλες δύο τέμνουν την πλευρά z.
Στο σχήμα με μπλε χρώμα φαίνεται η μία διαδρομή που τέμνει την πλευρά z, με πράσινο χρώμα η μία διαδρομή που τέμνει την πλευρά y και με κόκκινο χρώμα η μία διαδρομή που τέμνει την πλευρά x. Υπάρχει άλλη μία συμμετρική τριάδα διαδρομών (μπλε, πράσινη, κόκκινη) που δεν απεικονίζεται και έχουν το ίδιο μήκος με τις εμφανιζόμενες. Επέλεξα να απεικονίσω το άνοιγμα του κουτιού με αυτόν τον ασυνήθιστο τρόπο για το λόγο ότι είναι ένας από τους τρεις δυνατούς τρόπους με τους οποίους φαίνονται ταυτόχρονα και οι τρεις διαφορετικές διαδρομές.

Για τον υπολογισμό του μήκους της κάθε μίας από τις τρεις υποψήφιες διαδρομές θα χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα μιας και οι ευθείες αυτές είναι υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων. Ονομάζω Κ την κόκκινη ευθεία, Μ την μπλε ευθεία και Π την πράσινη ευθεία. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:

Κ2 = x2 + (z+y)2 = x2 + z2 + y2 + 2zy
Μ2 = z2 + (x+y)2 = z2 + x2 + y2 + 2xy
Π2 = y2 + (x+z)2 = y2 + x2 + z2 + 2xz

Επειδή θέσαμε πως z < y < x, προκύπτει πως Κ < Π < Μ. Συντομότερη διαδρομή δηλαδή είναι η κόκκινη. Με αντικατάσταση των μεταβλητών x, y, z στην πρώτη εξίσωση με τις τιμές του προβλήματος, βρίσκουμε πως Κ = 64,03. Δηλαδή η συντομότερη διαδρομή έχει μήκος 64 εκατοστά.

It's not that I'm so smart it's just that I stay with problems longer.
--Albert Einstein

Σχολιάστε το γρίφο


Πίσω